ทำไม ดิฟ x² ถึงได้ 2x ??
สำหรับบทความนี้ ก็จะพูดเรื่องการพิสูจน์ว่า ทำไมการหาค่าอนุพันธ์ (Derivatives) ของฟังก์ชันพหุนาม เช่น x² ถึงได้ 2x ซึ่งถ้าจะเขียนให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปแล้ว จะเขียนได้เป็นแบบนี้
ก็คือสิ่งที่เรามักจะจำกันว่า การดิฟ ให้เอาเลขชี้กำลังย้ายมาคูณข้างหน้า และ เลขชี้กำลังลดลงไป 1
ในที่นี้วิธีการพิสูจน์สูตรนี้จะอาศัยความรู้เรื่องทฤษฎีบททวินาม และ นิยามการหาค่าอนุพันธ์
ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem) จะกล่าวถึงการกระจาย (a+b)ⁿ สามารถเขียนเป็นสูตรดังนี้
นิยามการหาค่าอนุพันธ์
ซึ่งก็คือการหาค่าความชันของฟังก์ชันที่ตำแหน่ง x ใด ๆ นั่นเอง
หากเราต้องการหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = xⁿ จะได้
ทำการกระจาย (x+h)ⁿ ด้วยทฤษฎีบททวินามและหาค่า lim
การจะใช้สูตรนี้เราต้องระลึกอยู่เสมอว่าจะใช้ได้เฉพาะที่เป็นฟังก์ชันพหุนามเท่านั้น ถ้าเป็นฟังก์ชันอื่น เช่น ฟังก์ชัน exponential จะไม่สามารถใช้หลักการนี้ได้ สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน exponential เป็นดังนี้
ซึ่งจะยังไม่ขอกล่าวถึงในที่นี้
ในภาษา Python ก็จะมี module sympy ที่สามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ ดังนี้
import sympyx = sympy.symbols(‘x’) # กำหนดว่า x เป็นตัวแปร# นิยามฟังก์ชัน
f = x**2
g = x**3 + 2*x**2 + 3*x + 1# หาค่าอนุพันธ์
df = sympy.diff(f,x)
print(df) # 2*x
dg = sympy.diff(g,x)
print(dg) # 3*x**2 + 4*x + 3
จาก code ด้านบนแสดงการหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน x² และ x³+2x²+3x+1 จะเห็นว่า module sympy สามารถแสดงค่าอนุพันธ์ออกมาในรูปแบบที่ติดตัวแปรได้เลย
