การหาค่า Root Mean Square
โดยทั่วไปแล้ว หากพูดถึงค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล เราก็มักจะหมายถึง ค่าเฉลี่ยเลขคณิต(Arithmetic Mean) ซึ่งหาค่าได้จากสูตร
คือ หาค่าผลรวมของสมาชิกทั้งหมด > หารด้วยจำนวนสมาชิก
ค่าเฉลี่ยมักจะถูกใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลชุดนั้น ๆ หรือเรียกว่า ค่ากลาง(Central Value) (ยังมีค่ากลางอื่นที่นิยมใช้ เช่น ค่ามัธยฐาน(Median) ค่าฐานนิยม(Mode) เป็นต้น) แต่ปัญหาของการหาค่าเฉลี่ย คือ ในกรณีที่ข้อมูลมีค่าทั้งบวกและลบ เมื่อทำการหาค่าผลรวมจะทำให้ค่าเกิดการหักล้างกัน
วิธีการแก้ปัญหา คือ ใช้การหา ค่าเฉลี่ยกำลังสอง(Root Mean Square : RMS) โดยหาได้จากสูตร
คือ นำสมาชิกแต่ละตัวยกกำลังสอง > หาค่าผลรวม > หารด้วยจำนวนสมาชิก > ถอดรากที่สอง
การยกกำลังสองจะเป็นการทำให้ค่าที่เป็นลบ กลายเป็นค่าบวกและการถอดรากที่สองเพื่อให้ได้ค่าผลลัพธ์กลับออกมาเป็นค่ายกกำลังหนึ่ง
ตัวอย่างโปรแกรมการหาค่า เฉลี่ยเลขคณิต และ ค่าเฉลี่ยกำลังสอง
จากที่กล่าวมาข้างต้น จะเห็นว่าเป็นการคำนวณค่าเฉลี่ยโดยที่ชุดข้อมูลเป็นค่าไม่ต่อเนื่อง(รู้ว่ามีจำนวนสมาชิกกี่ตัว) แต่ถ้าหากต้องการหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น ต้องการหาค่าความเร็วเฉลี่ย(average velocity) จากฟังก์ชันความเร็ว v(t) = 2t + 3 ตั้งแต่ ที่เวลาเริ่มต้น (t=0) ถึง ที่เวลาเป็น 5 วินาที (t=5)
จะเห็นว่าค่า v จะมีการเปลี่ยนแปลง(เพิ่มขึ้น) ตลอดเวลา การหาค่าความเร็วเฉลี่ย สามารถหาได้จาก
sₜₒₜₐₗ คือ ค่าการกระจัดทั้งหมด(Total Displacement) และ tₜₒₜₐₗ คือ ช่วงเวลาทั้งหมด
โดยที่ sₜₒₜₐₗ สามารถหาได้จากพื้นที่ใต้กราฟ ซึ่งหาได้จากค่าอินทิเกรตฟังก์ชันนั้น ดังนั้นการหาค่าความเร็วเฉลี่ยที่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถหาได้จาก
จาก v(t) = 2t + 3 หาค่าอินทิเกรตได้ t² + 3t + c แทนค่าจำกัดขอบเขต ที่ t = 0 ถึง t = 5 จะได้ ค่าพื้นที่ใต้กราฟเท่ากับ 40 ดังนั้น Vavg = 40/5 = 8 m/s
สำหรับในกรณีนี้จะสังเกตว่ากราฟเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู สามารถหาพื้นที่ใต้กราฟได้จากสูตร (1/2)x(ผลบวกด้านคู่ขนาน)xสูง = (1/2) x (3+13) x 5 ซึ่งจะมีค่า เท่ากับ 40 ก็ได้เหมือนกัน
จะเห็นว่า การหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันต่อเนื่องก็จะพบปัญหาแบบเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ หากค่าของฟังก์ชันมีทั้งค่าที่เป็นบวกและลบ จะทำให้ค่าพื้นที่ใต้กราฟหักล้างกัน เช่น f(x) = sin(x)
จาก f(x) = sin(x) หาค่าอินทิเกรตได้ -cos(x) + c
— แทนค่าจำกัดขอบเขต ที่ x = 0 ถึง x = π (กราฟครึ่งบน) จะได้ ค่าพื้นที่ใต้กราฟเท่ากับ 2
— แทนค่าจำกัดขอบเขต ที่ x = π ถึง x = 2π (กราฟครึ่งล่าง) จะได้ ค่าพื้นที่ใต้กราฟเท่ากับ -2
ดังนั้น พื้นที่ใต้กราฟ ตั้งแต่ที่ x = 0 ถึง x = 2π จะมีค่าเป็น 2 + (-2) = 0
ดังนั้น เราจะแก้ปัญหานี้ด้วยการหาค่า RMS ของฟังก์ชันต่อเนื่องจากสูตร
คือ ยกกำลังสองฟังก์ชัน > หาพื้นที่ใต้กราฟ > หารช่วงคาบ > ถอดรากที่สอง
หมายเหตุ คาบ คือ ช่วงที่ฟังก์ชันซ้ำเดิม
จะได้ ค่า RMS ของฟังก์ชัน sin(x) ตั้งแต่ที่ x = 0 ถึง x = 2π ดังนี้
จากตัวอย่างการหาค่า RMS หากนำไปประยุกต์กับเรื่องไฟฟ้ากระแสสลับ(alternating current) ที่เป็นสัญญาณรูปคลื่น เช่น
— กระแสไฟฟ้า I(t) = Iₘsin(ωt)
— ความต่างศักย์ V(t) = Vₘsin(ωt)
สามารถเขียนเป็นความสัมพันธ์ ระหว่างค่า peak และ ค่า RMS ได้ ดังนี้
จากตัวอย่างด้านบนสามารถเขียนโปรแกรมหาค่าเฉลี่ยและค่า RMSของฟังก์ชันต่อเนื่องได้ดังนี้ (ในที่นี้ใช้ Module Sympy)
การหาค่าเฉลี่ยนั้นยังมีชนิดอื่นอีก เช่น ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก(Weighted Average) , ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต(Geometric Mean) , ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก(Harmonic Mean) เป็นต้น ซึ่งจะยังไม่กล่าวถึงในที่นี้
